数学建模

swd915

2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛（大专组）
D题（抢渡长江）参考答案

注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。

设竞渡在平面区域进行, 且参赛者可看成质点沿游泳路线 (x(t), y(t)) 以速度  前进，其中游速大小u不变。要求参赛者在流速  给定的情况下控制 (t) 找到适当的路线以最短的时间 T 从起点 (0,0) 游到终点 (L, H)，如图1。 这是一个最优控制问题:
                        
可以证明，若 (t)为连续函数, 则(t)等于常数时上述问题有最优解。证明见:   
George Leitmann, The Calculus of Variations and Optimal Control,  Plenum Press, 1981.  pp. 130 – 135, p. 263, Exercise 15.13. （注：根据题意，该内容不要求同学知道。）

1.        设游泳者的速度大小和方向均不随时间变化，即令 ，而流速 ， 其中u 和 v 为常数, 为游泳者和x 轴正向间的夹角。于是游泳者的路线 (x(t), y(t)) 满足
                             （1）
T是到达终点的时刻。                           
    令 ，如果 (1) 有解, 则
                                （2）
即游泳者的路径一定是连接起、终点的直线，且
                            （3）                     
若已知L, H, v, T, 由（3）可得
                                （4）
由（3）消去 T 得到
                                            （5）
给定L, H, u , v的值，z满足二次方程
                        （6）
（6）的解为
                            （7）
方程有实根的条件为
（8）
为使（3）表示的T最小，由于当L, u, v 给定时,  ，  所以(7) 中z 取较大的根, 即取正号。将（7）的z1代入（3）即得T，或可用已知量表为
                                     （9）
以H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s 和第一名成绩T=848 s 代入（4），得z= -0.641, 即q =117.50，u=1.54 m/s。
以H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s 和u=1.5 m/s代入（7），（3），得z= -0.527, 即q =1220，T=910s，即15分10秒。

2.  游泳者始终以和岸边垂直的方向（y轴正向）游, 即 z = 0, 由（3）得T =L/v≈529s,  u= H/T≈2.19 m/s。游泳者速度不可能这么快，因此永远游不到终点, 被冲到终点的下游去了。
注：男子 1500 米自由泳世界记录为 14分41秒66, 其平均速度为1.7 m/s。
1500米自由泳 哈克特(澳大利亚) 14分34秒56 1500自由泳 埃文斯(美国)
式（8）给出 了能够成功到达终点的选手的速度，对于2002年的数据，H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s，需要u >1.43 m/s。
假设 1934 年竞渡的直线距离为5000 m, 垂直距离仍为H = 1160 m, 则L=4864 m, 仍设v= 1.89 m/s，则游泳者的速度只要满足 u >0.44 m/s，就可以选到合适的角度游到终点。(游 5000米很多人可以做到)

3. 如图2，H分为H=H1+H2+H3   3段，H1= H3=200 m, H2=760 m, v1= v3=1.47 m/s，v2= 2.11m/s, 游泳者的速度仍为常数
u=1.5 m/s, 有v1，v3< u, v2> u, 相应的游泳方向q1，q2为常数。路线为ABCD, AB平行CD。L分为L=L1+L2+L3,  L1=L3, 据（8），对于v2> u, L2应满足
      （10）
   因为v1< u, 故对L1无要求。
   对于确定的L1，L2，仍可用1中的公式计算游泳的方向和时间。
   为确定使总的时间最小的路线ABCD, 注意到 L1=L3= ( L -L2)/2，由 (9) 知所需要的总时间为
                                                               （11）
求L2使T最小。编程计算可得：L2= 806.33 m时T = 904.02s ≈ 15 分 4 秒。
    将得到的 L2= 806 m，L1==L3= 97 m代入（7）可得q1=1260，q2=1180，即最佳的方向。
也可以用枚举法作近似计算：将L2从760 m到1000 m每20 m一段划分，相应的L1，L3从120 m到0 m每10 m一段划分。编程计算得下表，其中1, 3, 2 和T1, T3, T2分别为3段中游泳的方向和时间，而T=T1+ T2+ T3 为总的时间。
L1, L3 (m)        T1, T3 (s)        1, 3 ( 0 )        L2 (m)        T2 (s)        2  ( 0 )        T (s)
0        670.03        168.52        1000.00        509.07        95.57        1849.12
10.00        525.87        165.31        980.00        510.85        97.34        1562.59
20.00        419.90        161.49        960.00        513.26        99.19        1353.06
30.00        344.10        157.20        940.00        516.39        101.13        1204.59
40.00        290.02        152.63        920.00        520.38        103.18        1100.41
50.00        250.95        147.91        900.00        525.41        105.35        1027.30
60.00        222.22        143.13        880.00        531.72        107.66        976.16
70.00        200.73        138.38        860.00        539.65        110.14        941.11
80.00        184.40        133.69        840.00        549.73        112.83        918.52
90.00        171.84        129.11        820.00        562.79        115.81        906.47
100.00        162.10        124.66        800.00        580.37        119.19        904.58
110.00        154.52        120.36        780.00        605.97        123.27        915.01
120.00        148.62        116.21        760.00        652.68        129.08        949.91
可知L1=L3=100(m)，L2 =800(m) 时T=904.58(s)最小，即成绩为15分5秒，相应的游泳方向1=3=124.660，2=119.190。

4. H仍分为3段，对于流速连续变化的第1段H1=200 m，方程（1）变为
                      （12）
其中v（=2.28m/s）为常数, 仍设游泳者的速度大小和方向均不随时间变化，及 ，若(1) 有解，则
                        （13）
是一条抛物线。类似于1中的作法得到，给定L, H, u , v的值，z满足二次方程
                  （14）
取绝对值较小的根，为
                        （15）
有实根的条件为
（16）
将（15）的z代入（13）得第1段的时间
                                               （17）
因u>v/2，由（16）对L1无要求。
对于第2段H2=760 m，仍用（9），（10），应有L2> 870 m，且第2段的时间
                            （18）   
注意到 L1=L3= ( L -L2)/2，T1=T3, 得总的时间为
                                                （19）
将给定的L, H1, H2, u和v=2.28 m/s代入（15），（17），（18），（19），求L2使T最小。编程计算可得：L2= 922.9 m时T =892.5s ≈ 14 分53 秒。
将L2= 923 m，L1==L3= 38.5 m分别代入（7）和（15）可得q1=127.70，q2=114.50，即最佳的方向。
类似3，也可以用枚举法作近似计算：将L2从880 m到1000 m每20 m一段划分，相应的L1，L3从60 m到0 m每10 m一段划分，编程计算得下表。
L1, L3 (m)        T1, T3 (s)        1, 3 ( 0 )        L2 (m)        T2 (s)        2  ( 0 )        T (s)
0        205.15        139.46        1000.00        522.45        104.12        932.76
10.00        193.76        136.52        980.00        528.33        106.46        915.85
20.00        183.58        133.42        960.00        535.89        109.01        903.05
30.00        174.56        130.20        940.00        545.80        111.83        894.93
40.00        166.67        126.87        920.00        559.23        115.04        892.56
50.00        159.83        123.47        900.00        578.72        118.90        898.39
60.00        153.98        120.02        880.00        613.18        124.28        921.15
可知L1=L3=40，L2 =920时T=892.56(s)最小，即14分53秒， q1=q3=126.870，q2=115.040。

注   问题3中v1= v3=1.47 m/s，v2= 2.11m/s 及问题4中v=2.28 m/s的确定，是考虑到使平均流速仍保持报载的1.89 m/s。学生可以合理地改变数据。